Число называют полярным радиусом точки или первой полярной координатой. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией. Начертим полярную систему координат (см. начало урока) и возьмём в руки транспортир. Полярную систему координат можно расширить на случай -мерного пространства.

Решение этих задач зависит от взаимного расположения полярной оси и осей декартовой системы. Мы рассмотрим лишь частный случай, когда полярная ось совпадает с осью абсцисс декартовой системы следовательно, полюс совпадает с началом координат декартовой системы). При этом предполагается, что все три оси — полярная ось и оси — имеют общую единицу масштаба. Пример. Зная декартовы координаты точки М, найти ее полярные координаты.

Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат.

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно.

Например, точка с координатами будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов.

Полярная система координат

Для обозначения полюса используют координаты . Независимо от координаты точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находится на нём. Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики и почти во всех разделах математики используют радианы.

3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным. Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.

По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая — ещё одной угловой координаты. Пусть , — координатные векторы -мерной прямоугольной системе координат.

Уравнение линии в полярных координатах

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.

Помимо аффинной системы координат и её популярного частного случая – прямоугольной (декартовой) системы, существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. Любая отличная от начала координатточка плоскости однозначно определяется своим расстоянием от полюса и ориентированнымуглом между полярной осью и отрезком : Для самого полюса , а угол не определён.

Но недостаток этих «традиционно» ориентированных углов состоит в том, что они слишком далеко (более чем, на 180 градусов) «закручены» против часовой стрелки. Проводим карандашом тонкую прямую, проходящую через полюс и сделанную отметку: С углом разобрались, на очереди полярный радиус. Такое присоединение всегда полезно держать в голове, когда выполняете чертёж в полярных координатах.

Порядок и техника построения точек в полярных координатах

Дежурным примером полярной кривой является Архимедова спираль. В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы здесь рассматривать нельзя.

Так, в своё время ректор Казанского университета Н.И. Лобачевский строго доказал, через произвольную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Решение: в первую очередь найдём область определения. Таким образом, область определения нашей функции: , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

Равенство (8) выражает полярный радиус через декартовы координаты. Красивые картинки красивы, однако построение в полярной системе координат – занятие достаточно кропотливое. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Читайте также: