imageschto-takoe-periodicheskaja-funktsija-i-period-funktsii-thumb.jpg

Периодическая функция

Если отношение периодов двух функций и является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360° Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Число называется периодом функции . Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции.

Это требование однозначности функции является обязательным. Монотонная функция. Функция, которая только возрастает или толькоубывает, называется монотонной. Если функция непрерывна во всехточках своей области определения, тоона называется непрерывной функцией. Если для любогоx из области определенияфункции имеет место:f ( -x ) = f ( x ), то функция называется чётной;если же имеет место: f (-x) = -f (x), то функция называется нечётной.

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой. В §1 по заданному числу мы определяли точку на тригонометрической окружности, и далее тригонометрические функции рассматриваемого числа определялись только этой точкой. Таким образом, если два числа дают одну и ту же точку на окружности, то значения их одноименных тригонометрических функций совпадают.

Определение 3.1. Число называется периодом функции f, если для всех x из области ее определения справедливо равенство. Итак, периодическая функция, не являющаяся постоянной, обладает следующим свойством: существует такое число , что периоды функции f имеют вид , где . Такое число Т называется наименьшим периодом.

Периодичности функции можно придать и геометрический смысл. Функция f имеет период Т, если ее график переходит в себя при сдвиге на вектор, имеющий длину Т и параллельной оси абсцисс.

График периодической функции обычно строят на промежутке x0;x0+T, а затем повторяют на всю область определения. 2. Функция называется периодической, если она имеет хотя бы один период. Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов.

Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воздуха в данной точке — периодическая функция от времени. Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1-3), называется просто периодом этих колебаний.

Легко проверить (мы предложим это сделать в задачах), что — действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Замечание 6. График периодической функциине изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника).

Тогда, чтобы получить весь график, достаточно будет сдвинуть построенную часть вправо и влево на целое число периодов. Проголосуйте за ту тему, которая по Вашему мнению недостаточно освещена в этом блоге. Мнение большинства будет учтено при подготовке последующих публикаций.

Теорема о выборке определяет условия, при которых возможно по выборке восстановить непрерывную функцию . В общем случае восстановить по выборке непрерывную функцию невозможно. Однако если исходная функция имеет финитный спектр Фурье (конечный по протяженности), то при соблюдении определенных условий для шага выборки функцию можно восстановить однозначно.

Между тем, при работе с дискретными функциями и их фурье-образами удобнее получать выборку с обычным расположением элементов. Периодическая функция, функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Чётная и нечётная функции. Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой. В частности, если — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где — произвольное натуральное число, также является периодом.

Читайте также:

Еще: